麦克劳林公式(麦克劳林公式和泰勒公式区别)

有些数字比其他数字更容易出现在公式中。有些人甚至会说,有些数字比其他数字更重要。但是为什么呢?在这篇文章中,我将展示一些美丽的公式,它们都包含π,并试图理解为什么π在数学中随处可见。

介绍

>麦克劳林公式(麦克劳林公式和泰勒公式区别)

如果π只渗透到几何和三角学领域,而不是数学的其他子领域,就不足为奇了。然而,π存在于数学的许多领域,在某些情况下,我们很难理解为什么π会出现。

π存在于数论、微积分、代数、概率论和统计学等学科中,如果你有研究,会发现它非常神奇和有趣。

π以某种形式出现,应该意味着某个地方隐藏着一个圆,而在某些情况下,似乎并没有。

回忆一下,π就是任何圆的周长除以直径得到的精确数字。

下面的公式都会出现π。我将试图解释为什么会出现(π)?

莱布尼茨公式

让我们从结果开始:

这个交替级数收敛于π/4。π为什么会出现在这个级数中?它来自于一个三角函数。已知几何级数:

当|x|<1时成立。我们在两边用-x^2替换x,得到:

两边从0到1积分会得到:

其中arctan是反正切函数。

布冯针问题

在18世纪,乔治-路易·勒克莱尔,布冯伯爵提出了以下问题:

假设有一张纸,在上面画等距的平行线,然后在纸上放一根针,针的长度与两线之间的距离相等。针与其中一条线相交的概率是多少?

这个问题的答案是2/π,但是“圆”藏在哪里呢?

假设针的中心落在两条线之间,我们可以不失一般性地假设针以及两条线之间的距离是2个单位长。

设针的中心为x,我们把这两条直线放在一个坐标系中,使得最接近x的垂直线在0处穿过x轴(因此,它就扮演了第二个轴的角色)。我们可以用下图来说明:

红蓝线说明了这个实验的两种不同结果。这个圆说明了当针的中心为x时所有可能的结果。请注意,针永远不能相交于两条线,所以我们可以假设x在两条直线的中心线的左边。两条直线的中心在x=1处。

从上图可以看出cos(θ)=x,因为我们需要让x变化,所以需要反余弦函数,也就是arccos。公式变成了θ=arccos(x)。

我们需要把所有的面积比加起来,有无穷个(面积比),因为x的每一个值都会给出一个这样的比值。但我们有微积分工具,可以对x从0到1积分得到所有比值的和。

现在我们可以用分部积分法对arccos(x)求导,来证明arccos(x)的不定积分是xarccos(x)-sqrt(1-x2)+C。

最后得到p=2/π。这个公式中的圆来自于针的旋转对称。

欧拉恒等式

数学中最美丽的方程式当属欧拉恒等式,1748年,莱昂哈德·欧拉提出了这个方程:

正如威廉·德纳姆所说:

如果你想做加法,你需要0;如果你想做乘法,你需要1;;如果你想学微积分,你需要e;如果你想做几何,你需要π;如果你想做复分析,你需要i。这些数字都出现在了欧拉恒等式中。

它表达了两个对称之间的有趣关系。当我们用一个复数z乘以e^(πi),得到的数字是z沿着半径为|z|的圆旋转π弧度得到的数字。

欧拉恒等式表达了这样一个事实:通过原点反射一个复数(即乘以-1)相当于将该数旋转180度。

这个结果中的圆,源于与上面的复指数相乘时的半圆旋转。

巴赛尔问题

让欧拉名声大噪的一个发现是下面这个令人惊讶的结果:

左边的无穷级数是所有整数平方倒数的“和”。首先,欧拉回顾了正弦函数的麦克劳林级数展开式。正弦函数可以写成幂级数。

然后除以x得到:

欧拉认为上面的左边可以看成是一个无限多项式,我们都知道多项式可以被分解成线性因子的乘积形式

其中c是一个数字,上面分母中的r是多项式的根(也称为零点)。任何多项式都可以写成这样的事实叫做代数基本定理,这是一个非常重要的定理。

欧拉认为这个定理也适用于一些“无限”多项式,如上面的幂级数。由于上述幂级数的常数项为1,显然c=1。我们现在有

欧拉问自己这个函数的零点是什么。它们是正弦函数的零点,因此是π的整数倍。所以:

第二个等式来自于将相邻项相乘。现在需要另一个绝妙的想法。欧拉意识到隐藏在上面的二次项分母中的平方数,并想把它们从乘积中“解放出来”。这听起来很可怕,但是我们只需要得到幂级数的前两项。

显然,常数项是1。第二项呢?对于相应的无穷幂级数中的每个系数,我们只需要选择一个非常数项然后从乘积中的其他项中选择所有的1。然后,我们得到

欧拉把它和泰勒级数表达式做了比较。也就是说:

欧拉得出,右边的两个级数必须相等,也就是:

或:

再一次,我们可以解释π是如何从正弦函数的零点来的,然而,如果真的想从几何上理解这个问题,这并不是很令人满意。

高斯积分

在统计学、数论和许多其他数学领域中,一个非常重要的积分结果是:

这真的很神奇。下面这个钟形曲线下的面积是π的平方根。

有很多不同的方法来证明这一点。我最喜欢也是最优雅的方法是把笛卡尔坐标系换成极坐标。具体来说,令

现在我们计算I^2,并将其转换为极坐标:

在上面的计算中,我们对最后一个积分做了替换:r^2=u=>rdr=du/2。现在,因为我们知道I一定是一个正数,得到

那么这个圆在哪呢?当我们计算I^2时,我们实际上计算了一个(三维)体积,也就是在一个具有旋转对称的二维表面下的体积。

得到的二重积分把无限多的圆面积“加起来”。把所有这些面积相加,得到的表达式不仅包含π,而且实际上等于π。

结论

看来,当π出现在一个公式中,我们可以通过某种隐藏在公式中的旋转关系来解释它。即使我们不能一眼看到它,但它肯定就在那里。

关于π的讨论还可以有很多,例如为什么用几何方法解释这类问题这么难,而用代数和微积分就(相对)容易了呢?

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